Cho $a,b,c>$ thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh rằng: $\dfrac{1}{(a+1)^3}+\dfrac{1}{(b+1)^3}+\dfrac{1}{(c+1)^3}\ge \dfrac{3}{8}$ Lời giải Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$, ta có: \[\dfrac{1}{(a+1)^3}+\dfrac{1}{(a+1)^3}+\dfrac{1}{8}\ge \dfrac{3}{2}.\dfrac{1}{(a+1)^2}\] Do đó \[\dfrac{1}{(a+1)^3}+\dfrac{1}{(b+1)^3}+\dfrac{1}{(c+1)^3}\ge \dfrac{3}{4} \left[\dfrac{1}{(a+1)^2}+\dfrac{1}{(b+1)^2}+\dfrac{1}{(c+1)^2}\right]-\dfrac{3}{16}\] Do $abc=1$ nên ta giả sử $ab\ge 1$. Ta có: \[\begin{aligned}\dfrac{1}{(a+1)^3}+\dfrac{1}{(b+1)^3}+\dfrac{1}{(c+1)^3}& \ge \dfrac{3}{4} \left[\dfrac{1}{2(a^2+1)}+\dfrac{1}{2(b^2+1)}+\dfrac{1}{(c+1)^2}\right]-\dfrac{3}{16}\\&\ge \dfrac{3}{4} \left(\dfrac{1}{ab+1}+\dfrac{1}{c+1}-\dfrac{1}{4}\right)-\dfrac{3}{16}\\&= \dfrac{3}{4} \left(\dfrac{c}{c+1}+\dfrac{1}{c+1}-\dfrac{1}{4}\right)-\dfrac{3}{16}\\&=\dfrac{3}{8} \end{aligned}\] Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh. Dấu $"="$ xảy ra khi $a=b=c=1\blacksquare$ Nguồn boxmath.vn

Inequality 04

Cho $a, b, c >$ thỏa mãn $ab c = 1$ . Chứng minh rằng: $\frac{1}{( a + 1 ) ^{3}} + \frac{1}{( b + 1 ) ^{3}} + \frac{1}{( c + 1 ) ^{3}} \geq \frac{3}{8}$

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức $A M - GM$ , ta có:

$\frac{1}{( a + 1 ) ^{3}} + \frac{1}{( a + 1 ) ^{3}} + \frac{1}{8} \geq \frac{3}{2} . \frac{1}{( a + 1 ) ^{2}}$

Do đó

$\frac{1}{( a + 1 ) ^{3}} + \frac{1}{( b + 1 ) ^{3}} + \frac{1}{( c + 1 ) ^{3}} \geq \frac{3}{4} [\frac{1}{( a + 1 ) ^{2}} + \frac{1}{( b + 1 ) ^{2}} + \frac{1}{( c + 1 ) ^{2}}] - \frac{3}{16}$

Do $ab c = 1$ nên ta giả sử $ab \geq 1$ . Ta có:

$\frac{1}{( a + 1 ) ^{3}} + \frac{1}{( b + 1 ) ^{3}} + \frac{1}{( c + 1 ) ^{3}} \geq \frac{3}{4} [\frac{1}{2 ( a ^{2} + 1 )} + \frac{1}{2 ( b ^{2} + 1 )} + \frac{1}{( c + 1 ) ^{2}}] - \frac{3}{16} \geq \frac{3}{4} (\frac{1}{ab + 1} + \frac{1}{c + 1} - \frac{1}{4}) - \frac{3}{16} = \frac{3}{4} (\frac{c}{c + 1} + \frac{1}{c + 1} - \frac{1}{4}) - \frac{3}{16} = \frac{3}{8}$

Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh. Dấu $" = "$ xảy ra khi $a = b = c = 1 ■$

Nguồn boxmath.vn

Inequality 04

Đề bài

Mô tả