Inequality 03

Cho $a,b,c$ là 3 số dương thỏa mãn $abc=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của

$$S=\frac{a^2}{(ab+2)(2ab+1)}+\frac{b^2}{(bc+2)(2bc+1)}+\frac{c^2}{(ca+2)(2ca+1)}$$

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$, ta có:

$$\begin{array}{rl}S& =\frac{a^2}{(ab+2)(2ab+1)}+\frac{b^2}{(bc+2)(2bc+1)}+\frac{c^2}{(ca+2)(2ca+1)}\\ & \ge \frac{4}{9}\left[\frac{a^2}{(ab+1{)}^2}+\frac{b^2}{(bc+1{)}^2}+\frac{c^2}{(ca+1{)}^2}\right]\\ & \ge \frac{4}{9}\left[\frac{ab}{(ab+1)(bc+1)}+\frac{bc}{(bc+1)(ca+1)}+\frac{ca}{(ca+1)(ab+1)}\right]\end{array}$$

Đặt $x=ab;y=bc;z=ca$.

Ta sẽ chứng minh $T=\frac{x}{(x+1)(y+1)}+\frac{y}{(y+1)(z+1)}+\frac{z}{(z+1)(x+1)}\ge \frac{3}{4}$ với $xyz=1$.
Thật vậy

$$\begin{array}{rl}T& =\frac{x}{(x+1)(y+1)}+\frac{y}{(y+1)(z+1)}+\frac{z}{(z+1)(x+1)}\\ & =\frac{xy+yz+zx+x+y+z}{(x+1)(y+1)(z+1)}\\ & =\frac{xy+yz+zx+x+y+z}{xy+yz+zx+x+y+z+2}\\ & =1-\frac{2}{xy+yz+zx+x+y+z+2}\\ & \ge 1-\frac{2}{3\sqrt[3]{x^2{y}^2{z}^2}+3\sqrt[3]{xyz}+2}\\ & =\frac{3}{4}\end{array}$$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ bằng $\frac{1}{3}$. Dấu ${}^{\prime \prime }{=}^{\prime \prime }$ xảy ra khi $a=b=c=1■$.

Nguồn boxmath.vn