Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $\dfrac{4}{5}b\ge a-c\ge \dfrac{3}{5}b$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \[P=\dfrac{12(a-b)}{c}+\dfrac{12(b-c)}{a}+\dfrac{25(c-a)}{b}\] Lời giải Từ giả thuyết, ta có : \[b+c-a\ge \dfrac{1}{5}b>0\]; \[a+b-c\ge \dfrac{8}{5}b>0\] – Xét trường hợp $c+a-b>0$ \[\begin{aligned} & -\dfrac{P}{2}=\dfrac{12(b+c-a)}{2c}+\dfrac{12(c+a-b)}{2a}+\dfrac{25(a+b-c)}{2b}-\dfrac{49}{2} \\ & =\dfrac{12(b+c-a)}{\left( b+c-a \right)+\left( c+a-b \right)}+\dfrac{12(c+a-b)}{\left( c+a-b \right)+\left( a+b-c \right)}+\dfrac{25(a+b-c)}{\left( a+b-c \right)+\left( b+c-a \right)}-\dfrac{49}{2} \\ \end{aligned}\] Đặt $\begin{cases} x=b+c-a \\ y=c+a-b \\ z=a+b-c \\ \end{cases} \quad \left( x,y,z>0 \right) $ Với $a\ge \dfrac{3}{5}b+c\Rightarrow 5a\ge 3b+5c\Leftrightarrow a+b-c\ge 4b+4c-4a\Leftrightarrow z\ge 4x\Rightarrow \dfrac{z}{x}\ge 4$ hay $\dfrac{x}{z}\le \dfrac{1}{4}$ Với $\dfrac{4}{5}b+c\ge a\Rightarrow 8b+10c\ge 10a\Leftrightarrow 9b+9c-9a\ge a+b-c\Leftrightarrow 9x\ge z\Rightarrow \dfrac{x}{z}\ge \dfrac{1}{9}$ Ta có: \[-\dfrac{P}{2}=\dfrac{12x}{x+y}+\dfrac{12y}{y+z}+\dfrac{25z}{z+x}-\dfrac{49}{2}=12\left( \dfrac{1}{1+\dfrac{y}{x}}+\dfrac{1}{1+\dfrac{z}{y}} \right)+\dfrac{25}{1+\dfrac{x}{z}}-\dfrac{49}{2}\] $\ge \dfrac{24}{1+\sqrt{\dfrac{z}{x}}}+\dfrac{25}{1+\dfrac{x}{z}}-\dfrac{49}{2}=\dfrac{24\sqrt{\dfrac{x}{z}}}{1+\sqrt{\dfrac{x}{z}}}+\dfrac{25}{1+\dfrac{x}{z}}-\dfrac{49}{2}$ (Do $\dfrac{z}{x}\ge 4>1$) Xét hàm số $f(t)=\dfrac{24t}{1+t}+\dfrac{25}{1+{{t}^{2}}}-\dfrac{49}{2}$ với $t=\sqrt{\dfrac{x}{z}}$,$\dfrac{1}{3}\le t\le \dfrac{1}{2}$. Ta có $f'\left( t \right)=\dfrac{\left( 3t-1 \right)\left( t-3 \right)\left( 8{{t}^{2}}+15t+8 \right)}{{{\left( t+1 \right)}^{2}}{{\left( {{t}^{2}}+1 \right)}^{2}}}\le 0$ $\forall t\in \left[ \dfrac{1}{3};\dfrac{1}{2} \right]$ Hàm số $f\left( t \right)$ nghịch biến trên $\left[ \dfrac{1}{3};\dfrac{1}{2} \right]$. Do đó $f\left( t \right)\ge f\left( \dfrac{1}{2} \right)=\dfrac{7}{2}\Rightarrow P\le -7$ – Xét trường hợp $c+a-b\le 0$ Ta có: $\left\{ \begin{aligned} & a-b\le -c \\ & c-a\le -\dfrac{3}{5}b \\ \end{aligned} \right.$ \[\Rightarrow P\le -12-15+\dfrac{12(b-c)}{a}<-27+\dfrac{12b}{a}\] Mà $\dfrac{3}{5}b \le a-c < a \Rightarrow b < \dfrac{5}{3}a $. Do đó $P<-27+20=-7$ Vậy giá trị lớn nhất của $P$ bằng $-7$. Dấu $"="$ xảy ra khi $\begin{cases} {{y}^{2}}=xz \\ z=4x \\ \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} y=2x \\ z=4x \\ \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} 3b+c=3a \\ 3b+5c=5a \\ \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a=2c \\ b=\dfrac{5}{3}c \\ \end{cases} \blacksquare$. Nguồn boxmath.vn

Inequality 02

Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn $\frac{4}{5} b \geq a - c \geq \frac{3}{5} b$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$P = \frac{12 ( a - b )}{c} + \frac{12 ( b - c )}{a} + \frac{25 ( c - a )}{b}$

Lời giải

Từ giả thuyết, ta có :

$b + c - a \geq \frac{1}{5} b > 0$ ; $a + b - c \geq \frac{8}{5} b > 0$

– Xét trường hợp $c + a - b > 0$

$- \frac{P}{2} = \frac{12 ( b + c - a )}{2 c} + \frac{12 ( c + a - b )}{2 a} + \frac{25 ( a + b - c )}{2 b} - \frac{49}{2} = \frac{12 ( b + c - a )}{( b + c - a ) + ( c + a - b )} + \frac{12 ( c + a - b )}{( c + a - b ) + ( a + b - c )} + \frac{25 ( a + b - c )}{( a + b - c ) + ( b + c - a )} - \frac{49}{2}$

Đặt $⎩ ⎨ ⎧ x = b + c - a y = c + a - b z = a + b - c (x, y, z > 0)$

Với $a \geq \frac{3}{5} b + c \Rightarrow 5 a \geq 3 b + 5 c \Leftrightarrow a + b - c \geq 4 b + 4 c - 4 a \Leftrightarrow z \geq 4 x \Rightarrow \frac{z}{x} \geq 4$ hay $\frac{x}{z} \leq \frac{1}{4}$

Với $\frac{4}{5} b + c \geq a \Rightarrow 8 b + 10 c \geq 10 a \Leftrightarrow 9 b + 9 c - 9 a \geq a + b - c \Leftrightarrow 9 x \geq z \Rightarrow \frac{x}{z} \geq \frac{1}{9}$

Ta có:

$- \frac{P}{2} = \frac{12 x}{x + y} + \frac{12 y}{y + z} + \frac{25 z}{z + x} - \frac{49}{2} = 12 \frac{1}{1 + \frac{y}{x}} + \frac{1}{1 + \frac{z}{y}} + \frac{25}{1 + \frac{x}{z}} - \frac{49}{2}$

$\geq \frac{24}{1 + \frac{z}{x}} + \frac{25}{1 + \frac{x}{z}} - \frac{49}{2} = \frac{24 \frac{x}{z}}{1 + \frac{x}{z}} + \frac{25}{1 + \frac{x}{z}} - \frac{49}{2}$ (Do $\frac{z}{x} \geq 4 > 1$ )

Xét hàm số $f (t) = \frac{24 t}{1 + t} + \frac{25}{1 + t ^{2}} - \frac{49}{2}$ với $t = \frac{x}{z}$ , $\frac{1}{3} \leq t \leq \frac{1}{2}$ .

Ta có $f^{'} (t) = \frac{( 3 t - 1 ) ( t - 3 ) ( 8 t ^{2} + 15 t + 8 )}{( t + 1 ) ^{2} ( t ^{2} + 1 ) ^{2}} \leq 0$ $\forall t \in [\frac{1}{3}; \frac{1}{2}]$

Hàm số $f (t)$ nghịch biến trên $[\frac{1}{3}; \frac{1}{2}]$ . Do đó $f (t) \geq f (\frac{1}{2}) = \frac{7}{2} \Rightarrow P \leq - 7$

– Xét trường hợp $c + a - b \leq 0$

Ta có: $⎩ ⎨ ⎧ a - b \leq - c c - a \leq - \frac{3}{5} b$

$\Rightarrow P \leq - 12 - 15 + \frac{12 ( b - c )}{a} < - 27 + \frac{12 b}{a}$

Mà $\frac{3}{5} b \leq a - c < a \Rightarrow b < \frac{5}{3} a$ . Do đó $P < - 27 + 20 = - 7$

Vậy giá trị lớn nhất của $P$ bằng $- 7$ .

Dấu $" = "$ xảy ra khi ${y^{2} = x z z = 4 x \Leftrightarrow {y = 2 x z = 4 x \Leftrightarrow {3 b + c = 3 a 3 b + 5 c = 5 a \Leftrightarrow ⎩ ⎨ ⎧ a = 2 c b = \frac{5}{3} c ■$ .

Nguồn boxmath.vn

Inequality 02

Đề bài

Mô tả