Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a(b^2+c^2)=b+c$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \[\dfrac{1}{(a+1)^2}+\dfrac{1}{(b+1)^2}+\dfrac{1}{(c+1)^2}+\dfrac{4}{(a+1)(b+1)(c+1)}\] Lời giải Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: $P\ge \dfrac{1}{{{\left( 1+a \right)}^{2}}}+\dfrac{2}{\left( 1+b \right)\left( 1+c \right)}+\dfrac{4}{\left( 1+a \right)\left( 1+b \right)\left( 1+c \right)}$ Từ điều kiện ta suy ra:$a{{\left( b+c \right)}^{2}}\le 2a\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)=2\left( b+c \right)\Leftrightarrow b+c\le \dfrac{2}{a}$ Cũng theo bất đẳng thức AM-GM, ta lại có: $\left( 1+b \right)\left( 1+c \right)\le \dfrac{1}{4}{{\left( 2+b+c \right)}^{2}}\le \dfrac{1}{4}{{\left( 2+\dfrac{2}{a} \right)}^{2}}=\dfrac{{{\left( 1+a \right)}^{2}}}{{{a}^{2}}}$ Do đó: $P\ge \dfrac{2a^2+1}{( 1+a )^2}+\dfrac{4a^2}{( 1+a)^3}=\dfrac{2a^3+6a^2+a+1}{( a+1)^3}$ Xét hàm số $f\left( a \right)=\dfrac{2{{a}^{3}}+6{{a}^{2}}+a+1}{{{\left( a+1 \right)}^{3}}}$, với $a>0$ Ta có: $f'\left( a \right)=\dfrac{2\left( 5a-1 \right)}{{{\left( a+1 \right)}^{4}}}=0\Leftrightarrow a=\dfrac{1}{5}$ Lập bảng biến thiên ta thấy $P\ge f(a)\ge f \left(\dfrac{1}{5}\right)=\dfrac{91}{108}$ Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ bằng $\dfrac{91}{108}$. Dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi $a=\dfrac{1}{5},b=c=5 \blacksquare$ Nguồn boxmath.vn

Inequality 01

Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn $a (b^{2} + c^{2}) = b + c$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$\frac{1}{( a + 1 ) ^{2}} + \frac{1}{( b + 1 ) ^{2}} + \frac{1}{( c + 1 ) ^{2}} + \frac{4}{( a + 1 ) ( b + 1 ) ( c + 1 )}$

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: $P \geq \frac{1}{( 1 + a ) ^{2}} + \frac{2}{( 1 + b ) ( 1 + c )} + \frac{4}{( 1 + a ) ( 1 + b ) ( 1 + c )}$

Từ điều kiện ta suy ra: $a (b + c)^{2} \leq 2 a (b^{2} + c^{2}) = 2 (b + c) \Leftrightarrow b + c \leq \frac{2}{a}$
Cũng theo bất đẳng thức AM-GM, ta lại có: $(1 + b) (1 + c) \leq \frac{1}{4} (2 + b + c)^{2} \leq \frac{1}{4} (2 + \frac{2}{a})^{2} = \frac{( 1 + a ) ^{2}}{a ^{2}}$

Do đó: $P \geq \frac{2 a ^{2} + 1}{( 1 + a ) ^{2}} + \frac{4 a ^{2}}{( 1 + a ) ^{3}} = \frac{2 a ^{3} + 6 a ^{2} + a + 1}{( a + 1 ) ^{3}}$
Xét hàm số $f (a) = \frac{2 a ^{3} + 6 a ^{2} + a + 1}{( a + 1 ) ^{3}}$ , với $a > 0$
Ta có: $f^{'} (a) = \frac{2 ( 5 a - 1 )}{( a + 1 ) ^{4}} = 0 \Leftrightarrow a = \frac{1}{5}$
Lập bảng biến thiên ta thấy $P \geq f (a) \geq f (\frac{1}{5}) = \frac{91}{108}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ bằng $\frac{91}{108}$ .

Dấu $" = "$ xảy ra khi và chỉ khi $a = \frac{1}{5}, b = c = 5 ■$

Nguồn boxmath.vn

Inequality 01

Đề bài

Mô tả