Bài toán : Cho hình bình hành có góc $B$ nhọn, $A(-2,-1)$. Gọi $H,K,E$ theo thứ tự là hình chiếu của $A$ xuống $BC,BD,CD$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $HKE$ có phương trình $x^2+y^2+x+4y+3=0$. Tìm toạ độ $B,C,D$ biết $H$ có hoành độ âm, $C$ có hoành độ dương và thuộc đường thẳng $x-y-3=0$. Lời giải : Gọi $M$ là giao của $AC,BD$. Ta sẽ chứng minh $(HKE)$ đi qua $M$. Thật vậy, dễ thấy $M$ chính là tâm ngoại tiếp của tứ giác nội tiếp $AHCE$. Nên : \[\angle HME=2\angle HAE=2\left ( \angle HAC+\angle EAC \right )=2\left [ \left ( 90^0- \angle HCA\right )+(90^0-\angle ECA) \right ]=2\left ( 180^0-\angle BCD \right )=2\angle ABC\;\;\;(1)\] Chú ý các tứ giác $AKHB,AKED$ nội tiếp : \[\angle HKE=360^0-\angle AKH-\angle AKE=360^0-(180^0-\angle ABH)-(180^0-\angle ADE)=\angle ABH+\angle ADE=2\angle ABC\;\;(2)\] Từ $(1)(2)$ suy ra $\angle HME=\angle HKE$, hay $M$ thuộc $(HKE)$. Gỉa sử $C(c,c-3)$ với $c>0$. Trung điểm $M$ của $AC$ có toạ độ $M\left ( \dfrac{c-2}{2},\dfrac{c-4}{2} \right )$. $M$ thuộc $(HKE)$ nên : \[\left ( \dfrac{c-2}{2} \right )^2+\left ( \dfrac{c-4}{2} \right )^2+\dfrac{c-2}{2}+2(c-4)+3=0\Leftrightarrow \Leftrightarrow c\in \left \{ -1,2 \right \}\] Tuy nhiên vì $c>0$ nên $c=2$. Vậy ta được $\boxed{C(2,-1)}$. Ta tính được $AC=4$. Đường tròn ngoại tiếp tứ giác $AHCE$ nhận $M\left ( 0,-1 \right )$ là tâm có phương trình : \[x^2+\left ( y+1 \right )^2=4\] Ta thấy $H,E$ là hai giao điểm của hai đường tròn nói trên nên toạ độ của chúng là hai nghiệm của hệ : \[\left\{\begin{matrix} x^2+\left ( y+1 \right )^2=4\\ x^2+y^2+x+4y+3=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left ( x,y \right )=\left ( \dfrac{-8}{5},\dfrac{-11}{5} \right ),(0,-3)\] Vì $H$ có hoành độ âm nên $H\left ( \dfrac{-8}{5},\dfrac{-11}{5} \right ),E(0,-3)$ Từ đây dễ dàng lập được phương trình các đường thẳng $CB,CD$ : \[(BC) : x-3y-5=0\] \[(CD) : x-y-3=0\]. Vì $D$ thuộc $CD$ nên $D(d,d-3)$. $M$ là trung điểm của $BD$ nên : \[\left\{\begin{matrix} x_B=2x_M-x_D\\ y_B=2y_M-y_D \end{matrix}\right.\Leftrightarrow B\left ( -d,1-d \right )\] Vì $B$ thuộc $BC$ nên : \[-d-3(1-d)-5=0\Leftrightarrow d=4\] Vậy ta có $\boxed{D(4,1),B(-4,-3)}$. Kết luận : \[C(2,-1),B(-4,-3),D(4,1)\]

Hình học phẳng toạ độ Đại học 3

Bài toán : Cho hình bình hành có góc $B$ nhọn, $A (- 2, - 1)$ . Gọi $H, K, E$ theo thứ tự là hình chiếu của $A$ xuống $B C, B D, C D$ . Đường tròn ngoại tiếp tam giác $H K E$ có phương trình $x^{2} + y^{2} + x + 4 y + 3 = 0$ . Tìm toạ độ $B, C, D$ biết $H$ có hoành độ âm, $C$ có hoành độ dương và thuộc đường thẳng $x - y - 3 = 0$ .

Lời giải :

Nguyễn M.Hải Trấn Biên Oxy ĐH

Gọi $M$ là giao của $A C, B D$ . Ta sẽ chứng minh $(H K E)$ đi qua $M$ .

Thật vậy, dễ thấy $M$ chính là tâm ngoại tiếp của tứ giác nội tiếp $A H C E$ . Nên :

$∠ H M E = 2∠ H A E = 2 (∠ H A C + ∠ E A C) = 2 [(9 0^{0} - ∠ H C A) + (9 0^{0} - ∠ E C A)] = 2 (18 0^{0} - ∠ B C D) = 2∠ A B C (1)$

Chú ý các tứ giác $A K H B, A K E D$ nội tiếp :

$∠ H K E = 36 0^{0} - ∠ A K H - ∠ A K E = 36 0^{0} - (18 0^{0} - ∠ A B H) - (18 0^{0} - ∠ A D E) = ∠ A B H + ∠ A D E = 2∠ A B C (2)$

Từ $(1) (2)$ suy ra $∠ H M E = ∠ H K E$ , hay $M$ thuộc $(H K E)$ .

Gỉa sử $C (c, c - 3)$ với $c > 0$ . Trung điểm $M$ của $A C$ có toạ độ $M (\frac{c - 2}{2}, \frac{c - 4}{2})$ . $M$ thuộc $(H K E)$ nên :

$(\frac{c - 2}{2})^{2} + (\frac{c - 4}{2})^{2} + \frac{c - 2}{2} + 2 (c - 4) + 3 = 0 \Leftrightarrow \Leftrightarrow c \in {- 1, 2}$

Tuy nhiên vì $c > 0$ nên $c = 2$ . Vậy ta được $C (2, - 1)$ .

Ta tính được $A C = 4$ . Đường tròn ngoại tiếp tứ giác $A H C E$ nhận $M (0, - 1)$ là tâm có phương trình :

$x^{2} + (y + 1)^{2} = 4$

Ta thấy $H, E$ là hai giao điểm của hai đường tròn nói trên nên toạ độ của chúng là hai nghiệm của hệ :

${x^{2} + (y + 1)^{2} = 4 x^{2} + y^{2} + x + 4 y + 3 = 0 \Leftrightarrow (x, y) = (\frac{- 8}{5}, \frac{- 11}{5}), (0, - 3)$

Vì $H$ có hoành độ âm nên $H (\frac{- 8}{5}, \frac{- 11}{5}), E (0, - 3)$

Từ đây dễ dàng lập được phương trình các đường thẳng $C B, C D$ :

$(B C) : x - 3 y - 5 = 0$

$(C D) : x - y - 3 = 0$ .

Vì $D$ thuộc $C D$ nên $D (d, d - 3)$ . $M$ là trung điểm của $B D$ nên :

${x_{B} = 2 x_{M} - x_{D} y_{B} = 2 y_{M} - y_{D} \Leftrightarrow B (- d, 1 - d)$

Vì $B$ thuộc $B C$ nên :

$- d - 3 (1 - d) - 5 = 0 \Leftrightarrow d = 4$

Vậy ta có $D (4, 1), B (- 4, - 3)$ .

Kết luận :

$C (2, - 1), B (- 4, - 3), D (4, 1)$

Hình học phẳng toạ độ Đại học 3

Đề bài

Mô tả