Bài toán (Đề thi Olympic Duyên hải và Đồng bằng Bắc Bộ lớp 11 năm 2015) Cho hai đường tròn $(O_1)$ và $(O_2)$ cắt nhau tại hai điểm $A,B$. $AX,XY$ theo thứ tự là hai đường kính của $(O_1),(O_2)$. $I$ là một điểm thuộc phân giác góc $XAY$ sao cho $I$ không thuộc hai đường tròn và $OI$ không vuông góc $XY$. Đường thẳng qua $A$ vuông góc $AI$ cắt $(O_1),(O_2)$ tại $E,F$ lần lượt. $IX$ cắt $(O_1)$ tại $K$, $IY$ cắt $(O_2)$ tại $L$. 1) Gọi $C$ là giao của $EF$ với $IX$ và $O$ là trung điểm của $XY$. Chứng minh $OE$ tiếp xúc với $(CEK)$. 2) Chứng minh $EK,FL,OI$ đồng quy. Lời giải : 1) Dễ thấy rằng $EO_1$ song song với $AY$ nên $EO_1$ đi qua trung điểm $O$ của $XY$. Tương tự $FO_2$ cũng đi qua $O$. Ta có : \[\angle OEK=\angle O_1EK=\angle O_1EA-\angle AEK=\angle EAO_1-\angle AXK=\angle ACX=\angle ECK\] Điều này chứng tỏ $OE$ là tiếp tuyến của $(CEK)$. 2) Gọi $D$ là giao của $YL$ với $EF$, tương tự thì $OF$ là tiếp tuyến của $(DFL)$. Mà dễ chứng minh $OE=OF$ nên $O$ nằm trên trục đẳng phương của $(CEK),(DFL)$. Tiếp theo ta sẽ chứng minh hai tứ giác $DLKC$ và $ELKF$ nội tiếp. Chứng minh $DLKC$ nội tiếp : Gọi $U$ là giao của $AI$ và $(O_1)$ thì có $\angle O_1UA=\angle O_1AU=\angle UAY$, suy ra $O_1U$ song song $AY$, dẫn đến $O_1U$ đi qua $O$. Vì $OE$ tiếp xúc $(CEK)$ nên $\angle KCE=\angle KEU=\angle KAU=\angle KAI=\angle KLI$ (chú ý là tứ giác $ALIK$ nội tiếp do có hai góc đối là góc vuông). Từ đó mà có $DLKC$ nội tiếp. Chứng minh $ELKF$ nội tiếp : Ta có : \[\angle FLK=\angle FLI-\angle KLI=\angle FLY-\angle KEU\] \[\angle FEK=\angle FEO-\angle KEU\] Mặt khác dễ thấy rằng $\angle FEO=\angle FLI$ nên kéo theo $\angle FLK=\angle FEK$. Điều này chứng tỏ $ELKF$ nội tiếp. Tiếp theo ta gọi $J$ là giao của $EK,FL$ thì do $ELKF$ nội tiếp nên : \[JE.JK=JL.JF\Rightarrow P_{J/(CEK)}=P_{J/DFL}\] Vậy $J$ nằm trên trục đẳng phương của $(CEK),(DFL)$ Tương tự do $DLKC$ nội tiếp nên suy ra được $I$ nằm trên trục đẳng phương của $(CEK),(DFL)$. Ta có ba điểm $O,I,J$ cùng nằm trên trục đẳng phương của $(CEK),(DFL)$ nên chúng thẳng hàng. Hay nói cách khác $EK,FL,OI$ đồng quy, đây là điều cần chứng minh.

Geometry/ Olympic Duyên hải và Đồng bằng Bắc Bộ/2015

Bài toán (Đề thi Olympic Duyên hải và Đồng bằng Bắc Bộ lớp 11 năm 2015)

Cho hai đường tròn $(O_{1})$ và $(O_{2})$ cắt nhau tại hai điểm $A, B$ . $A X, X Y$ theo thứ tự là hai đường kính của $(O_{1}), (O_{2})$ . $I$ là một điểm thuộc phân giác góc $X A Y$ sao cho $I$ không thuộc hai đường tròn và $O I$ không vuông góc $X Y$ . Đường thẳng qua $A$ vuông góc $A I$ cắt $(O_{1}), (O_{2})$ tại $E, F$ lần lượt. $I X$ cắt $(O_{1})$ tại $K$ , $I Y$ cắt $(O_{2})$ tại $L$ .

1) Gọi $C$ là giao của $E F$ với $I X$ và $O$ là trung điểm của $X Y$ . Chứng minh $O E$ tiếp xúc với $(C E K)$ .

2) Chứng minh $E K, F L, O I$ đồng quy.

Lời giải :

1) Dễ thấy rằng $E O_{1}$ song song với $A Y$ nên $E O_{1}$ đi qua trung điểm $O$ của $X Y$ . Tương tự $F O_{2}$ cũng đi qua $O$ .

Ta có :

$∠ O E K = ∠ O_{1} E K = ∠ O_{1} E A - ∠ A E K = ∠ E A O_{1} - ∠ A X K = ∠ A C X = ∠ E C K$

Điều này chứng tỏ $O E$ là tiếp tuyến của $(C E K)$ .

2) Gọi $D$ là giao của $Y L$ với $E F$ , tương tự thì $O F$ là tiếp tuyến của $(D F L)$ . Mà dễ chứng minh $O E = O F$ nên $O$ nằm trên trục đẳng phương của $(C E K), (D F L)$ .

Tiếp theo ta sẽ chứng minh hai tứ giác $D L K C$ và $E L K F$ nội tiếp.

Chứng minh $D L K C$ nội tiếp :

Gọi $U$ là giao của $A I$ và $(O_{1})$ thì có $∠ O_{1} U A = ∠ O_{1} A U = ∠ U A Y$ , suy ra $O_{1} U$ song song $A Y$ , dẫn đến $O_{1} U$ đi qua $O$ .

Vì $O E$ tiếp xúc $(C E K)$ nên $∠ K C E = ∠ K E U = ∠ K A U = ∠ K A I = ∠ K L I$ (chú ý là tứ giác $A L I K$ nội tiếp do có hai góc đối là góc vuông).

Từ đó mà có $D L K C$ nội tiếp.

Chứng minh $E L K F$ nội tiếp :

Ta có :

$∠ F L K = ∠ F L I - ∠ K L I = ∠ F L Y - ∠ K E U$

$∠ F E K = ∠ F E O - ∠ K E U$

Mặt khác dễ thấy rằng $∠ F E O = ∠ F L I$ nên kéo theo $∠ F L K = ∠ F E K$ . Điều này chứng tỏ $E L K F$ nội tiếp.

Tiếp theo ta gọi $J$ là giao của $E K, F L$ thì do $E L K F$ nội tiếp nên :

$J E . J K = J L . J F \Rightarrow P_{J / (C E K)} = P_{J / D F L}$

Vậy $J$ nằm trên trục đẳng phương của $(C E K), (D F L)$

Tương tự do $D L K C$ nội tiếp nên suy ra được $I$ nằm trên trục đẳng phương của $(C E K), (D F L)$ .

Ta có ba điểm $O, I, J$ cùng nằm trên trục đẳng phương của $(C E K), (D F L)$ nên chúng thẳng hàng.

Hay nói cách khác $E K, F L, O I$ đồng quy, đây là điều cần chứng minh.

Geometry/ Olympic Duyên hải và Đồng bằng Bắc Bộ/2015

Đề bài

Mô tả