Geometry / Iran Second Round 2015

Bài toán (Iran Second Round 2015)

Cho tam giác $ABC$ và $D,E$ lần lượt là các điểm trên cạnh $AB,AC$ sao cho tứ giác $BDEC$ nội tiếp. Gọi $P$ là giao của $BE,CD$. Gọi $H$ là điểm trên $AC$ thoả $\angle AHP=90^0$ và $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AP,BC$. Chứng minh rằng hai tam giác $MHN,ADC$ đồng dạng.

Lời giải :

Ta sẽ chứng minh đường tròn $(MHN)$ chính là đường tròn Euler của tam giác $APC$.

Thật vậy, gọi $K,L$ là trung điểm của $AC,PC$ thế thì chú ý $KL\parallel AP,NL\parallel BP$.

Ta có :

$\angle KNL$$=\angle BNL-\angle BNK$$=(180^0-\angle EBC)-(180^0-\angle ABC)$$=\angle ABC-\angle EBC$$=\angle ACD$$=\angle MLP$$=\angle KML$

Suy ra tứ giác $MNLK$ nội tiếp hay $N$ thuộc đường tròn Euler của tam giác $APC$. Từ đó có ngay $M,N,H,K,L$ cùng thuộc một đường tròn.

Từ đó có :

$$\angle HMN=\angle CKN=\angle CAD,\angle HNM=\angle HKM=\angle ACD$$

Điều này chứng tỏ hai tam giác $AHM,ADC$ đồng dạng.