Geometry / APMO 2015

Bài toán (APMO 2015)

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$, gọi $D$ là một điểm trên cạnh $BC$. Một đường thẳng qua $D$ cắt cạnh $AB$ tại $X$ và cắt tia $AC$ tại $Y$. Đường tròn $(BXD)$ cắt $(O)$ tại $Z$. Đường thẳng $ZD,ZY$ theo thứ tự cắt $(O)$ tại $V,W$. Chứng minh $AB=VW$.

Lời giải :

Dễ dàng nhận thấy điểm $Z$ chính là điểm Miquel của tứ giác toàn phần $ABCXDY$.

Cho nên tứ giác $CDZY$ nội tiếp. Suy ra :

$$\angle ZYD=\angle ZCD$$

Mà lại có $\angle ZCD=\angle ZCB=\angle ZWB$ do tứ giác $ZWCB$ nội tiếp. Như vậy thì $\angle ZWB=\angle ZYD$.

Điều này cho ta $WB,YD$ song song nhau.

Tương tự thì $AV,YD$ cũng song song nhau. Kéo theo $AV,WB$ song song. Dễ suy ra đuợc $AB=VW$.