(Thi thử Hà Nội – Amsterdam 2013) Cho $\triangle ABC$ nhọn và điểm $K$ trên cạnh $AC$ sao cho $AK=2KC$, $\widehat {ABK}= 2\widehat {KBC}$ và $AB<AC$. Dựng đường tròn đường kính $AB$, cắt $BK$ tại $D$ và cắt $BC$ tại $E$. CMR: $\triangle CDE$ là tam giác cân. Lời giải Ta có hai bổ đề sau, chứng minh khá đơn giản. $(*)$ Bổ đề $1$: Cho hình thang $ABCD$ vuông tại $A,D$ và $AB\parallel CD,M$ là trung điểm $BC$ thì $DC=CP$ $(*)$ Bổ đề $2$: Cho $\triangle ABC$. giao điểm của phân giác $\widehat A$ với trung điểm $BC$ tại $D$ thì $D\in (ABC)$ $\blacktriangleright$ Áp dụng Lấy $P,Q$ là điểm đối xứng của $A$ qua $D,K$. $\triangle ABC$ có $DK$ là đường trung bình $\Rightarrow DK\parallel PQ$ mà $DK\perp AP$ $\Rightarrow PQ\perp AD$ $\Rightarrow DKQP$ là hình thang vuông $\qquad (1)$ Mặt khác: $KC=\frac{AK}{2}=\frac{KQ}{2}=CQ$, và với theo bổ đề $1$ $\qquad (2)$ Từ $(1),(2)$ $\Rightarrow DC=CP \qquad (3)$ $\triangle ABP$ có $BD$ là đường cao và đồng thời là đường trung tuyến $\Rightarrow \triangle ABP$ cân tại $B$ $\Rightarrow \widehat {ABD}=\widehat {PBD}$ mà $\widehat {B_1}=2\widehat {B_2}$ $\Rightarrow \widehat {B_2}=\widehat {B_3}$ $\Rightarrow BC$ là phân giác $\widehat {DBP} \qquad (4)$ Áp dụng bổ đề $2$, kết hợp $(3),(4)$ $\Rightarrow BPCO: tgnt$ $\widehat {C_1}=\widehat {P_1} \qquad (5)$ $\triangle ABP$ cân tại $B$ $\Rightarrow \widehat {P_1}=\widehat {A_1} \qquad (6)$ $ABED: tgnt$ $\Rightarrow \widehat {E_1}=\widehat {A_1} \qquad (7)$ Từ $(5),(6),(7)$ $\Rightarrow \widehat {E_1}=\widehat {A_1}$ $\triangle CDE$ cân tại $D$ $(Q.E.D) \blacksquare$

Geometry 2

(Thi thử Hà Nội – Amsterdam 2013)
Cho $△ A B C$ nhọn và điểm $K$ trên cạnh $A C$ sao cho $A K = 2 K C$ , $A B K = 2 K B C$ và $A B < A C$ . Dựng đường tròn đường kính $A B$ , cắt $B K$ tại $D$ và cắt $B C$ tại $E$ .
CMR: $△ C D E$ là tam giác cân.
Lời giải

Ta có hai bổ đề sau, chứng minh khá đơn giản.
$(*)$ Bổ đề $1$ : Cho hình thang $A B C D$ vuông tại $A, D$ và $A B ∥ C D, M$ là trung điểm $B C$ thì $D C = C P$
$(*)$ Bổ đề $2$ : Cho $△ A B C$ . giao điểm của phân giác $A$ với trung điểm $B C$ tại $D$ thì $D \in (A B C)$
$▶$ Áp dụng
Lấy $P, Q$ là điểm đối xứng của $A$ qua $D, K$ .
$△ A B C$ có $D K$ là đường trung bình $\Rightarrow D K ∥ P Q$ mà $D K ⊥ A P$
$\Rightarrow P Q ⊥ A D$ $\Rightarrow D K QP$ là hình thang vuông $(1)$
Mặt khác: $K C = \frac{A K}{2} = \frac{K Q}{2} = C Q$ , và với theo bổ đề $1$ $(2)$
Từ $(1), (2)$ $\Rightarrow D C = C P (3)$
$△ A B P$ có $B D$ là đường cao và đồng thời là đường trung tuyến
$\Rightarrow △ A B P$ cân tại $B$ $\Rightarrow A B D = P B D$
mà $B_{1} = 2 B_{2}$ $\Rightarrow B_{2} = B_{3}$
$\Rightarrow B C$ là phân giác $D B P (4)$
Áp dụng bổ đề $2$ , kết hợp $(3), (4)$ $\Rightarrow B P C O : t g n t$ $C_{1} = P_{1} (5)$
$△ A B P$ cân tại $B$ $\Rightarrow P_{1} = A_{1} (6)$
$A B E D : t g n t$ $\Rightarrow E_{1} = A_{1} (7)$
Từ $(5), (6), (7)$ $\Rightarrow E_{1} = A_{1}$
$△ C D E$ cân tại $D$ $(Q . E . D) ■$

Geometry 2

Đề bài

Mô tả