Bài toán : Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp trong đường tròn. Một điểm $P$ trong tứ giác thỏa mãn $\widehat{PDC}+\widehat{PCB}=\widehat{PBC}+\widehat{PAB}=90^{\circ}$ Gọi $S$ là giao điểm của $AB,CD$. Chứng minh $SP$ vuông góc $BC$ Lời giải : Gọi $H$ là chân vuông góc của $P$ xuống $BC$. Ta có : \[\angle PAB+\angle PBC=90^0\] \[\angle BPH+\angle PBC=90^0\] Suy ra $\angle PAB=\angle BPH$, điều này chứng tỏ rằng $PH$ là tiếp tuyến tại $P$ của $(PAB)$. Tương tự $PH$ là tiếp tuyến tại $P$ của $(PCD)$. Như vậy $(PAB),(PCD)$ tiếp xúc ngoài nhau và có trục đẳng phương là $PH$. Hơn nữa do $ABCD$ nội tiếp nên $SA.SB=SC.SD$, suy ra $S$ thuộc trục đẳng phương của $(PAB),(PCD)$, tức $S$ thuộc $PH$. Ta có điều phải chứng minh.

Geometry

0 lượt xem 22/06/2026

Đề bài

Bài toán :

Cho tứ giác $A B C D$ nội tiếp trong đường tròn. Một điểm $P$ trong tứ giác thỏa mãn $P D C + P C B = P B C + P A B = 9 0^{\circ}$

Gọi $S$ là giao điểm của $A B, C D$ . Chứng minh $S P$ vuông góc $B C$

Lời giải :

Gọi $H$ là chân vuông góc của $P$ xuống $B C$ .

Ta có :

$∠ P A B + ∠ P B C = 9 0^{0}$

$∠ B P H + ∠ P B C = 9 0^{0}$

Suy ra $∠ P A B = ∠ B P H$ , điều này chứng tỏ rằng $P H$ là tiếp tuyến tại $P$ của $(P A B)$ .

Tương tự $P H$ là tiếp tuyến tại $P$ của $(P C D)$ .

Như vậy $(P A B), (P C D)$ tiếp xúc ngoài nhau và có trục đẳng phương là $P H$ .

Hơn nữa do $A B C D$ nội tiếp nên $S A . S B = S C . S D$ , suy ra $S$ thuộc trục đẳng phương của $(P A B), (P C D)$ , tức $S$ thuộc $P H$ .

Ta có điều phải chứng minh.

Mô tả

Bài toán : Cho tứ giác nội tiếp trong đường tròn. Một điểm trong tứ giác thỏa mãn Gọi là giao điểm của . Chứng minh vuông góc Lời giải : Gọi là chân vuông góc của xuống . Ta có : Suy ra , điều này chứng tỏ rằng là tiếp tuyến tại của . Tương […]

Hình học phẳng

Nguồn: julielltv