Functional Equation / IMO Shortlist 2014 / A4

Bài toán : (IMO Shortlist 2014) 

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ và thoả mãn :

$$f(f(m)+n)+f(m)=f(3m)+f(n)+2014,\forall m,n\in \mathbb{Z}(1)$$

Lời giải :

Trước tiên, ta sẽ chứng minh rằng $f(0)=1007$. Đặt $f(0)=a$.

Trong $(1)$ cho $m=0$ :

$$f(n+a)=f(n)+2014,\forall n\in \mathbb{Z}$$

Từ đây ta chứng minh được bằng quy nạp :

$$f(na)=a+2014n,\forall n\in \mathbb{Z}(2)$$

Trong $(1)$ thay $m$ bởi $ma$ và sử dụng $(2)$ :

$f(f(ma)+n)+f(m)$$=f(3m)+f(n)+2014,\forall m,n\in \mathbb{Z}$$\iff f(a+2014m+n)+(a+2014m)$$=(a+3.2014m)+f(n)+2014,\forall m,n\in \mathbb{Z}$

Hay :

$$f(a+2014m+n)=f(n)+4028m+2014,\forall m,n\in \mathbb{Z}(3)$$

Trong $(3)$ thay $n=-a,m=a$ thì :

$$f(2014a)=f(-a)+4028a+2014,\forall m\in \mathbb{Z}(4)$$

Trong $(2)$ cho $n=2014$ thì :

$$f(2014a)=a+2014^2(5)$$

Từ $(4)(5)$ ta suy ra rằng :

$$f(-a)=-4027a+2014^2-2014(6)$$

Trong $(2)$ ta lại cho $n=-1$ thì được :

$$f(-a)=a-2014(7)$$

Và kết hợp $(6)(7)$ ta được :

$$a-2014=-4027a+2014^2-2014\iff a=1007$$

Như vậy ta đã chứng minh được rằng $a=f(0)=1007$.

Từ $(2)$ ta được :

$f(1007n)$$=1007+2014n,\forall n\in \mathbb{Z}$$\Rightarrow f(n)$$=a+2n,\forall n\in \mathbb{Z},a\mid n$

Trong $(1)$ ta thay $n=-f(m)$ thì được  :

$$f(m)=f(3m)+f(-f(m))+1007,\forall m\in \mathbb{Z}(8)$$

Trong $(8)$ ta tiếp tục thay $m$ bởi $am$ :

$f(am)$$=f(3am)+f(-f(am))+1007,\forall m\in \mathbb{Z}$$\iff (a+2m)$$=(a+6m)+f(-a-2m)+1007,\forall m\in \mathbb{Z}$

Thu gọn thành :

$f(-a-2m)$$=-4m-a,\forall m\in \mathbb{Z}$$\iff f(2m-1007)$$=4m-1007,\forall m\in \mathbb{Z}$

Thay $m$ bởi $m+503$ thì có :

$$f(2m-1)=4m+1005=2(2m-1)+1007,\forall m\in \mathbb{Z}$$

Tức là :

$$f(n)=2n+1007,\forall n\in \mathbb{Z},2\nmid n$$

Tuy nhiên ta cũng có :

$$f(n+1007)=f(n)+2014,\forall n\in \mathbb{Z}$$

Từ đó ta sẽ dễ dàng suy ra được rằng :

$$\boxed{f(n)=2n+1007,\forall n\in \mathbb{Z}}$$

Đây là đáp số duy nhất của bài toán.