Functional Equation

Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 11 năm 2011 THPT Chuyên Trà Vinh, tỉnh Trà Vinh) 

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$$f(x^2+f(y))=y+xf(x),\forall x,y\in \mathbb{R}(1)$$

Lời giải :

Ta chứng minh $f$ đơn ánh. Gỉa sử $\exists x_1,x_2\in \mathbb{R}:f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow f(1+f(x_1))=f(1+f(x_2))\Rightarrow x_1+1.f(1)=x_2+1.f(1)\Rightarrow x_1=x_2$. Vậy $f$ đơn ánh.

Đặt $f(0)=a$. Trong $(1)$ cho $x=y=0$ được $f(a)=0$. Trong $(1)$ cho $x=a,y=0$ và chú ý $f$ đơn ánh, ta có :

$$f(a^2+a)=af(a)=0=f(a)\Rightarrow a^2+a=a\Rightarrow a=0$$

Như vậy thì $f(0)=0$. Trong $(1)$ cho $y=0$ được :

$$f(x^2)=xf(x),\forall x\in \mathbb{R}(2)$$

Trong $(1)$ cho $x=0$ được $f(f(y))=y,\forall y\in \mathbb{R}$

Ta thu được :

$f(x^2+f(y))$$=f(f(y))+f(x^2),\forall x,y\in \mathbb{R}$$\iff f(x+y)$$=f(x)+f(y),\forall x,y\in \mathbb{R},x$$\ge 0$

Từ $(2)$ thay $x$ bởi $-x$ được :

$f(x^2)$$=-xf(-x),\forall x\in \mathbb{R}$$\Rightarrow -xf(-x)$$=xf(x),\forall x\in \mathbb{R}$$\Rightarrow f(-x)$$=-f(x),\forall x\in \mathbb{R}$

Do đó nếu $x\le 0$ ta có :

$f(y)$$=f(-x+(x+y))$$=f(-x)+f(x+y)$$=-f(x)+f(x+y),\forall x,y\in \mathbb{R}$$\iff f(x+y)$$=f(x)+f(y),\forall x,y\in \mathbb{R},x$$\le 0$

Như vậy thì $f$ là hàm cộng tính trên tập số thực :

$$f(x+y)=f(x)+f(y),\forall x,y\in \mathbb{R}(3)$$

Ta tính $f((x+1{)}^2$ theo hai cách bằng $(2)$ và $(3)$ :

$$f((x+1{)}^2)=(x+1)f(x+1)=(x+1)(f(x)+f(1)),\forall x\in \mathbb{R}$$

$$f((x+1{)}^2)=f(x^2+2x+1)=f(x^2)+2f(x)+f(1)=xf(x)+2f(x)+f(1),\forall x\in \mathbb{R}$$

Dẫn đến :

$(x+1)(f(x)+f(1))$$=xf(x)+2f(x)+f(1),\forall x\in \mathbb{R}$$\iff f(x)$$=f(1)x$$=cx,\forall x\in \mathbb{R}$

Thử lại ta nhận $c=1$.

Kết luận : Hàm số cần tìm là $f(x)=x,\forall x\in \mathbb{R}$