Functional Equation

Bài toán : Tìm tất cả các hàm số $f:{\mathbb{N}}^{\ast }\to {\mathbb{N}}^{\ast }$ và thỏa mãn :

$$f(n+f(n))=f(n),\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }(1)$$

cho biết tồn tại $x_0\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ sao cho $f(x_0)=1$

Lời giải :

Gọi $x_1=min\left\{n|n\in {\mathbb{N}}^{\ast },f(n)=1\right\}$

Trong $(1)$ cho $n=x_1$ ta được :

$$f(x_1+f(x_1))=f(x_1)\iff f(x_1+1)=1$$

Từ đó bằng quy nạp ta được

$$f(n)=1,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast },n\ge x_1$$

• Nếu $x_1=1$ thì ta có $f(x_1+f(x_1))=f(x_1)\Rightarrow f(x_1+1)=1$. Từ đó bằng quy nạp ta có $f(n)=1,\forall n\ge x_1=1$
• Nếu $x_1>1$ :

Ta có $f(x_1-1+f(x_1-1))=f(x_1-1)$

Nếu $x_1-1+f(x_1-1)\ge x_1$, ta có $f(x_1-1+f(x_1-1))=f(x_1-1)\Rightarrow f(x_1-1)=1$, mâu thuẫn vì $x_1-1<x_1$

Nếu $x_1-1+f(x_1-1)\le x_1\Rightarrow f(x_1-1)\le 1\Rightarrow f(x_1-1)\in \left\{0,1\right\}$.

Nhưng $x_1=min\left\{n|n\in {\mathbb{N}}^{\ast },f(n)=1\right\}$ và $x_1-1<x_1$ nên $f(x_1-1)=0\notin {\mathbb{N}}^{\ast }$, mâu thuẫn giả thiết.

Kết luận : Hàm số cần tìm là $\boxed{f(n)=1,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$