Functional Equation

Bài toán : Tìm hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$$f(2f(x)-y)=2x+y+6,\forall x,y\in \mathbb{R}(1)$$

Lời giải 1 :

Trong $(1)$ ta thay $-y$ bởi $2f(y)$ được :

$$f(2f(x)+2f(y))=2x-2f(y)+6,\forall x,y\in \mathbb{R}(2)$$

Đổi chỗ $x,y$ trong $(2)$ được :

$$f(2f(y)+2f(x))=2y-2f(x)+6,\forall x,y\in \mathbb{R}$$

Từ hai điều trên dẫn đến :

$$2x-2f(y)+6=2y-2f(x)+6,\forall x,y\in \mathbb{R}\Rightarrow f(x)\equiv -x-6$$

Kết luận : Hàm số cần tìm là $f(x)\equiv -x-6$

 

Lời giải 2 : 

Trong $(1)$ cho $x=0$ được $f(f(0)-y)=y+6,\forall y\in \mathbb{R}$

Đặt $t=f(0)-y$ thì $y=f(0)-t$, từ đó :

$$f(t)=f(0)-t+6=-t+c,\forall t\in \mathbb{R}$$. Thay vào $$(1)$$ được $$c=-6$$.

Kết luận : Hàm số cần tìm là $f(x)\equiv -x-6$