Functional Equation

Bài toán : Cho trước số nguyên dương $k$. Tìm tất cả các hàm số $f:{\mathbb{N}}^{\ast }\to {\mathbb{N}}^{\ast }$ và thỏa mãn :

$$i)f(n+1)>f(n)\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$$

$ii)f(f(...f(n)...))=n+k,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$  ($k$ lần hàm số $f$)

Lời giải :

Từ $i)$ ta có $f(n+1)\ge f(n)+1,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

Suy ra

 $$f(n+k)\ge f(n+k-1)+1\ge ...\ge f(n)+k(1)$$

Mặt khác áp dụng $ii)$ thì :

$f(n+k)$$=\underset{k+1}{\underbrace{f(f(f(...f(n)...)))}},\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$$\Rightarrow f(n+k)$$=f(n)+k,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }(2)$

Từ $(2)$ ta suy ra dấu bằng phải xảy ra ở $(1)$.

Tức là $f(n+1)=f(n)+1,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$

Dẫn đến

$f(n)$$=f(n-1)+1,f(n-1)$$=f(n-2)+1,...,f(2)$$=f(1)+1,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$$\Rightarrow f(n)$$=f(1)+n-1,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$$\Rightarrow f(n)$$=n+a,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$

Thay vào $ii)$ ta được :

$$n+ka=n+k,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\Rightarrow a=1$$

Kết luận : Hàm số thỏa đề là $f(n)=n+1,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$