Functional Equation

Bài toán : Tìm tất cả các hàm số $f:{\mathbb{N}}^{\ast }\to {\mathbb{N}}^{\ast }$ và thỏa mãn :

$$f^3(1)+f^3(2)+...+f^3(n)={\left(f(1)+f(2)+...+f(n)\right)}^2,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }(1)$$

Lời giải :

Ta có :

$f^3(1)+f^3(2)+...+f^3(n)+f^3(n+1)$$={\left(f(1)+f(2)+...+f(n)+f(n+1)\right)}^2$$=(f(1)+f(2)+...+f(n){)}^2+2f(n+1)\left(f(1)+f(2)+...+f(n)\right)+f^2(n+1),\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$$\iff {\left(f(1)+f(2)+...+f(n)\right)}^2+f^3(n+1)$$={\left(f(1)+f(2)+...+f(n)\right)}^2+2f(n+1)\left(f(1)+f(2)+...+f(n)\right)+f^2(n+1),\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$$\iff f^2(n+1)$$=2\left(f(1)+f(2)+...+f(n)\right)+f(n+1),\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }(2)$

Theo $(2)$ ta có :

$f^2(n+2)$$=2\left(f(1)+f(2)+...+f(n+1)\right)+f(n+2),\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$$\iff f^2(n+2)$$=2(f(1)+f(2)+...+f(n))+2f(n+1)+f(n+2)$$=f^2(n+1)-f(n+1)+2f(n+1)+f(n+2),\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$$\iff f^2(n+2)-f^2(n+1)$$=f(n+2)+f(n+1),\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$$\iff f(n+2)$$=f(n+1)+1,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$

Từ đó :

$$f(n)=f(n-1)+1,f(n-1)=f(n-2)+1,...,f(2)=f(1)+1$$

Kéo theo $f(n)=(n-1)+f(1),\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$

Trong $(1)$ cho $n=1$ ta được $f^3(1)=f^2(1)\iff f(1)=1$

Kết luận : Hàm số cần tìm là $\boxed{f(n)=n,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$