Functional Equation

Bài toán : Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ và thỏa mãn :

$$f(f(n))+f(n)=2n+3,\forall n\in \mathbb{N}(1)$$

Lời giải :

Trong $(1)$ cho $n=0$ được $f(f(0))+f(0)=3\Rightarrow 0\le f(0)\le 3\Rightarrow f(0)\in \left\{0,1,2,3\right\}$.

Nếu $f(0)=0$ thì $f(f(0))=3\Rightarrow f(0)=3$, mâu thuẫn.

Nếu $f(0)=2$ thì $f(f(0))=1\Rightarrow f(2)=1$. Khi đó trong $(1)$ cho $n=2$ được $f(f(2))+f(2)=7\Rightarrow f(1)+1=7\Rightarrow f(1)=6$. Lại cho $n=1$ trong $(1)$ được $f(f(1))+f(1)=5\Rightarrow f(6)=-1\notin \mathbb{N}$, mâu thuẫn.

Tương tự cũng không thể xảy ra $f(0)=3$

Do vậy ta phải có $f(0)=1$. Từ đó $f(f(0))+f(0)=3\Rightarrow f(1)=2$.

Ta dự đoán rằng $f(n)=n+1,\forall n\in \mathbb{N}$ và chứng minh điều này bằng quy nạp. Theo trên thì với $n=0,1$ thì mệnh đề đúng. Gỉa sử mệnh đề đúng với $n$, xét với $n+1$ :

$$f(n+1)=f(f(n))=2n+3-f(n)=2n+3-(n+1)=n+2$$

Theo nguyên lí quy nạp thì ta có $f(n)=n+1,\forall n\in \mathbb{N}$

Kết luận : Hàm số cần tìm là $\boxed{f(n)=n+1,\forall n\in \mathbb{N}}$