Functional Equation

Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2013 THPT Chuyên Nguyễn Thị Minh Khai, Sóc Trăng)

 Tìm tất cả các hàm số $f:{\mathbb{N}}^{\ast }\to {\mathbb{N}}^{\ast }$ và thỏa mãn :

$f(1)+2f(2)+3f(3)+...+nf(n)$$=\frac{n(n+1)}{2}f(n+1)-\frac{1}{6}{n}^3-\frac{1}{2}{n}^2-\frac{1}{3}n,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }(1)$

Lời giải :

Ta có :

$f(1)+2f(2)+...+nf(n)+(n+1)f(n+1)$$=\frac{(n+1)(n+2)}{2}f(n+2)-\frac{1}{6}(n+1{)}^3-\frac{1}{2}{n}^2-\frac{1}{3}n$$=\frac{(n+1)(n+2)}{2}f(n+2)-\frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{6},\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$

Cộng hai vế của $(1)$ với $(n+1)f(n+1)$ ta được :

$f(1)+2f(2)+...+nf(n)+(n+1)f(n+1)$$=\frac{n(n+1)}{2}f(n+1)-\frac{n(n+1)(n+2)}{6}+(n+1)f(n+1),\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$

Từ hai kết quả trên ta được :

$\frac{n(n+1)}{2}f(n+1)-\frac{n(n+1)(n+2)}{6}+(n+1)f(n+1)$$=\frac{(n+1)(n+2)}{2}f(n+2)-\frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{6},\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$$\Rightarrow \frac{n}{2}f(n+1)-\frac{n(n+2)}{6}+f(n+1)$$=\frac{n+2}{2}f(n+2)-\frac{(n+2)(n+3)}{6},\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$$\Rightarrow 3(n+2)f(n+2)-(n+2)(n+3)$$=3(n+2)f(n+1)-n(n+2),\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$$\iff 3(n+2)f(n+2)-3(n+2)$$=3(n+2)f(n+1),\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$$\iff f(n+1)$$=f(n)+1,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$

Từ đó : $f(n)=f(n-1)+1,f(n-1)=f(n-2)+1,...,f(2)=f(1)+1$

Kéo theo $f(n)=f(1)+n-1=n+a,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$

Thay vào $(1)$ :

$(1+a)+2(2+a)+3(3+a)+...+n(n+a)$$=\frac{n(n+1)}{2}(n+1+a)-\frac{1}{6}{n}^3-\frac{1}{2}{n}^2-\frac{1}{3}n,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$$\iff (1^2+2^2+...+n^2)+a(1+2+...+n)$$=\frac{n(n+1)(n+1+a)}{2}-\frac{n^3+3n^2+2n}{6},\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$$\iff 2n^3+3(1+a)n^2+(3a+1)n$$=2n^3+3(1+a)n^2+n+a,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$$\Rightarrow a$$=0$

Kết luận : Hàm số cần tìm là $\boxed{f(n)=n,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$