Bài toán (APMO 2015) Cho tập hợp $S=\left \{ 2,3,4,... \right \}$ là tập hợp các số nguyên không nhỏ hơn $2$. Có tồn tại hay không hàm số $f:S\rightarrow S$ sao cho : \[f(a)f(b)=f(a^2b^2),\;\forall a,b\in S,a\neq b\] Lời giải : Với mọi $a,b,c \in S$ và thoả $(*) : (a-b)(b-c)(a^2b^2-c)(b^2c^2-a) \neq 0$ ta có : \[f(a)f(b)f\left ( c \right )=f(a^2b^2)f\left ( c \right )=f(a^4b^4c^2)\] \[f(a)f(b)f\left ( c \right )=f(b^2c^2)f(a)=f(a^2b^4c^4)\] Suy ra với mọi $a,b,c \in S$ và thoả $(*)$ thì : \[f(a^4b^4c^2)=f(a^4b^2c^4)\] Mặt khác với mọi $a,b,c\in S$ thoả $(**):(a^2-b^2c)(ca-b^2c)\neq 0$ ta có : \[f(a^4b^4c^2)=f\left ( (b^2c)^2.(a^2)^2 \right )=f(a^2)f(b^2c)\] \[f(a^2b^4c^4)=f\left ( (ca)^2.(b^2c)^2 \right )=f(ca).f(b^2c)\] Từ hai điều trên ta suy ra với mọi $a,c\in S$ và thoả $(*),(**)$ : \[f(ca)=f(a^2)\] Rõ ràng với mọi $a,c\in S$ thì ta luôn chọn được số $b\in S$ sao cho cả hai điều kiện $(*),(**)$ đều được thoả mãn. Như vậy : \[f(ca)=f(a^2),\;\forall a,c\in S\] Tức là : \[f(a^2)=f(2a)=f(3a)=....=f(na),\;\forall a\in S,n\in \mathbb{N},n\geq 3\;\;\;(1)\] Mặt khác theo giả thiết : \[f(2k)f(b)=f(4k^2.b^2),\;\forall k,b\in S\;\;\;(2)\] Chú ý ta sử dụng kết quả $(1)$ với $a=b,n=4k^2b$ thì : \[f(4k^2b^2)=f(4k^2b.b)=f(b^2),\;\forall k,b\in S\;\;\;(3)\] Sử dụng $(1)$ với $a=b$ thì với mọi $b\in S$ : \[f(2b)=f(b^2)\;\;(4)\] Từ $(2)(3)(4)$ : \[f(b)=1,\;\forall b\in S\] Mâu thuẫn. Vậy không tồn tại hàm số thoả đề.

Functional Equation/APMO 2015/Problem 2

Bài toán (APMO 2015)

Cho tập hợp $S = {2, 3, 4, ...}$ là tập hợp các số nguyên không nhỏ hơn $2$ . Có tồn tại hay không hàm số $f : S \to S$ sao cho :

$f (a) f (b) = f (a^{2} b^{2}), \forall a, b \in S, a \neq = b$

Lời giải :

Với mọi $a, b, c \in S$ và thoả $(*) : (a - b) (b - c) (a^{2} b^{2} - c) (b^{2} c^{2} - a) \neq = 0$ ta có :

$f (a) f (b) f (c) = f (a^{2} b^{2}) f (c) = f (a^{4} b^{4} c^{2})$

$f (a) f (b) f (c) = f (b^{2} c^{2}) f (a) = f (a^{2} b^{4} c^{4})$

Suy ra với mọi $a, b, c \in S$ và thoả $(*)$ thì :

$f (a^{4} b^{4} c^{2}) = f (a^{4} b^{2} c^{4})$

Mặt khác với mọi $a, b, c \in S$ thoả $(* *) : (a^{2} - b^{2} c) (c a - b^{2} c) \neq = 0$ ta có :

$f (a^{4} b^{4} c^{2}) = f ((b^{2} c)^{2} . (a^{2})^{2}) = f (a^{2}) f (b^{2} c)$

$f (a^{2} b^{4} c^{4}) = f ((c a)^{2} . (b^{2} c)^{2}) = f (c a) . f (b^{2} c)$

Từ hai điều trên ta suy ra với mọi $a, c \in S$ và thoả $(*), (* *)$ :

$f (c a) = f (a^{2})$

Rõ ràng với mọi $a, c \in S$ thì ta luôn chọn được số $b \in S$ sao cho cả hai điều kiện $(*), (* *)$ đều được thoả mãn. Như vậy :

$f (c a) = f (a^{2}), \forall a, c \in S$

Tức là :

$f (a^{2}) = f (2 a) = f (3 a) = .... = f (na), \forall a \in S, n \in N, n \geq 3 (1)$

Mặt khác theo giả thiết :

$f (2 k) f (b) = f (4 k^{2} . b^{2}), \forall k, b \in S (2)$

Chú ý ta sử dụng kết quả $(1)$ với $a = b, n = 4 k^{2} b$ thì :

$f (4 k^{2} b^{2}) = f (4 k^{2} b . b) = f (b^{2}), \forall k, b \in S (3)$

Sử dụng $(1)$ với $a = b$ thì với mọi $b \in S$ :

$f (2 b) = f (b^{2}) (4)$

Từ $(2) (3) (4)$ :

$f (b) = 1, \forall b \in S$

Mâu thuẫn. Vậy không tồn tại hàm số thoả đề.