Bài toán : Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ và thỏa mãn : \[xf(y)+yf(x)=(x+y)f(x^2+y^2),\;\;\forall x,y\in \mathbb{N}\] Lời giải : Hiển nhiên $f(x)\equiv c$ thỏa đề. Xét $f(x)\not\equiv c$ Nếu tồn tại $x,y\in \mathbb{N}$ sao cho $f(x)\neq f(y)$, ta gọi $a,b\in \mathbb{N}$ thỏa mãn : \[\left | f(a)-f(b) \right |=min\left | f(x)-f(y) \right |\;\;\;(1)\] Không mất tính tổng quát, ta giả sử $f(a)>f(b)$ Khi đó : \[(a+b)f(a^2+b^2)=af(b)+bf(a)<(a+b)f(a)\Rightarrow f(a^2+b^2)<f(a)\] \[(a+b)f(a^2+b^2)=af(b)+bf(a)>(a+b)f(b)\Rightarrow f(a^2+b^2)>f(b)\] Từ đó dẫn đến : \[\left | f(a^2+b^2)-f(b) \right |<\left | f(a)-f(b) \right |\;\;\;(2)\] Dễ thấy $(1)(2)$ mâu thuẫn nhau. Kết luận : Hàm số thỏa đề là $\boxed{f(x)\equiv c}$

Functional Equation

0 lượt xem 22/06/2026

Đề bài

Bài toán : Tìm tất cả các hàm số $f : N \to N$ và thỏa mãn :

$x f (y) + y f (x) = (x + y) f (x^{2} + y^{2}), \forall x, y \in N$

Lời giải :

Hiển nhiên $f (x) \equiv c$ thỏa đề. Xét $f (x) \neq \equiv c$

Nếu tồn tại $x, y \in N$ sao cho $f (x) \neq = f (y)$ , ta gọi $a, b \in N$ thỏa mãn :

$∣ f (a) - f (b) ∣ = min ∣ f (x) - f (y) ∣ (1)$

Không mất tính tổng quát, ta giả sử $f (a) > f (b)$

Khi đó :

$(a + b) f (a^{2} + b^{2}) = a f (b) + b f (a) < (a + b) f (a) \Rightarrow f (a^{2} + b^{2}) < f (a)$

$(a + b) f (a^{2} + b^{2}) = a f (b) + b f (a) > (a + b) f (b) \Rightarrow f (a^{2} + b^{2}) > f (b)$

Từ đó dẫn đến :

$f (a^{2} + b^{2}) - f (b) < ∣ f (a) - f (b) ∣ (2)$

Dễ thấy $(1) (2)$ mâu thuẫn nhau.

Kết luận : Hàm số thỏa đề là $f (x) \equiv c$

Mô tả

Bài toán : Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn : Lời giải : Hiển nhiên thỏa đề. Xét Nếu tồn tại sao cho , ta gọi thỏa mãn : Không mất tính tổng quát, ta giả sử Khi đó : Từ đó dẫn đến : Dễ thấy mâu thuẫn nhau. Kết luận : […]

Phương trình hàm

Nguồn: julielltv