Functional Equation

Bài toán : Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ và thỏa mãn :

 $$f(f(n))+f^2(n)=n^2+3n+3,\forall n\in \mathbb{N}(1)$$

Lời giải :

Trong $(1)$ cho $n=0$ được $f(f(0))+f^2(0)=3\Rightarrow 0\le f^2(0)\le 3\Rightarrow f(0)\in \left\{0,1\right\}$. Nếu $f(0)=0$ thì $f(f(0))=3\Rightarrow f(0)=3$, mâu thuẫn. Do đó $f(0)=1$

Từ đó ta có

$$f(f(0))+f^2(0)=3\Rightarrow f(1)+1=3\Rightarrow f(1)=2$$

Như vậy ta dự đoán rằng $f(n)=n+1,\forall n\in \mathbb{N}$ và ta chứng minh khẳng định này bằng quy nạp.

Với $n=0,1$ thì khẳng định là đúng. Gỉa sử nó đúng đến $n=k$, tức là $f(k)=k+1$. Ta xét với $k+1$ :

$$f(k+1)=f(f(k))=k^2+3k+3-f^2(k)=k^2+3k+3-(k+1{)}^2=k+2$$

Theo nguyên lí quy nạp thì khẳng định trên là đúng.

Kết luận : Hàm số cần tìm là $\boxed{f(n)=n+1,\forall n\in \mathbb{N}}$