Functional Equation

Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2012 THPT Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm, Quảng Nam)

Tìm tất cả các hàm số$f:{\mathbb{N}}^{\ast }\to {\mathbb{N}}^{\ast }$ và thỏa mãn :

$$2f^3(m^2+n^2)=f^2(m)f(n)+f(m)f^2(n)$$

Lời giải :

Hiển nhiên $f(n)\equiv c$ thỏa mãn đề bài. Gỉa sử $f(n)\not\equiv c$.

Nếu tồn tại $m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ sao cho $f\left(m\right)\ne f(n)$ thì ta gọi $a,b\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ thỏa mãn :

$$\left|f(a)-f(b)\right|=min\left|f(m)-f(n)\right|(1)$$

Không mất tính tổng quát ta giả sử $f(a)>f(b)$

Ta có

 $$2f^3(b)<f^2(a)f(b)+f(a)f^2(b)<2f^3(a)$$

Kéo theo

$2f^3(b)$$<2f^3(a^2+b^2)$$<2f^3(a)$$\Rightarrow f(b)$$<f(a^2+b^2)$$<f(a)$$\Rightarrow \left|f(a)-f(b)\right|$$>\left|f(a^2+b^2)-f(b)\right|(2)$

Rõ ràng $(1)(2)$ mâu thuẫn nhau.

Kết luận : Hàm số thỏa đề là $\boxed{f(n)\equiv c}$