Functional Equation

Bài toán : Cho hàm số $f : R \to R$ và $f$ không đồng nhất $0$ , thỏa mãn :

$2 f (x) f (y) = f (x + y) + f (x - y), \forall x, y \in R (1)$

a) Chứng minh rằng $f (x) \geq - 1, \forall x \in R$

b) Cho biết $f (3) = 0$ . Tính $f (1992), f (1995), f (1998)$ .

Lời giải :

a) Trong $(1)$ ta cho $x = y = 0$ được :

$f^{2} (0) = f (0) \Leftrightarrow f (0) = 1 \lor f (0) = 0$ nhưng vì $f \neq \equiv 0$ nên $f (0) = 1$

Trong $(1)$ cho $x = y$ được :

$f (2 x) + f (0) = 2 f^{2} (x), \forall x \in R \Rightarrow f (2 x) = 2 f^{2} (x) - 1 \geq - 1, \forall x \in R \Leftrightarrow f (x) \geq - 1, \forall x \in R$

b) Ta tính $f (3 k), f (3 k + 1), f (3 k + 2), \forall k \in N$ .

+) Tính $f (3 k)$ :

Tính một số giá trị $f (0) = 1, f (3) = 0, f (6) = - 1, f (9) = 0, f (12) = 1, f (15) = 0, f (18) = - 1, ...$ ta dự đoán :

$f (3 k) = ⎩ ⎨ ⎧ = 0 \forall k \equiv 1, 3 (m o d 4) = - 1 \forall k \equiv 2 (m o d 4) = 1 \forall k \equiv 0 (m o d 4) (*)$

Ta chứng minh điều này bằng quy nạp. Gỉa sử $(*)$ đúng đến $k - 1$ . Ta xét với $k$ :

$f (3 k) = f (3 (k - 1) + 3) = 2 f (3 (k - 1)) . f (3) - f (3 (k - 2)) = - f (3 (k - 2))$

Nếu $k \equiv 1, 3 (m o d 4) \Rightarrow k - 2 \equiv 3, 1 (m o d 4) \Rightarrow f (3 (k - 2)) = 0 \Rightarrow f (3 k) = 0$

Nếu $k \equiv 2 (m o d 4) \Rightarrow k - 2 \equiv 0 (m o d 4) \Rightarrow f (3 (k - 2)) = 1 \Rightarrow f (3 k) = - 1$

Nếu $k \equiv 0 (m o d 4) \Rightarrow k - 2 \equiv 2 (m o d 4) \Rightarrow f (3 (k - 2)) = - 1 \Rightarrow f (3 k) = 1$

Theo nguyên lí quy nạp thì $(*)$ là đúng.

+) Tính $f (3 k + 1)$

Trong $(1)$ cho $x = 2, y = 1$ ta được $2 f (2) f (1) = f (3) + f (1) = f (1) \Leftrightarrow f (2) = 1$

Trong $(1)$ cho $x = y = 1$ ta được $2 f^{2} (1) = f (2) + f (0) = f (2) + 1$ , kéo theo $f^{2} (1) = 1$ .

Nhưng nếu $f (1) = - 1$ . Theo câu $a$ ta có $f (1) = 2 f^{2} (\frac{1}{2}) - 1 \Rightarrow f (\frac{1}{2}) = 0$ .

Mâu thuẫn vì $f \neq \equiv 0$ . Do vậy ta có $f (1) = f (2) = 1$ .

Từ đó tính được một số giá trị $f (4) = - 1, f (7) = - 1, f (10) = 1, f (13) = 1, f (16) = - 1, f (19) = - 1, f (22) = 1, ...$

Ta dự đoán $f (3 k + 1) = {= 1 \forall k \equiv 0, 3 (m o d 4) = - 1 \forall k \equiv 1, 2 (m o d 4) (* *)$

Ta chứng minh điều này bằng quy nạp. Gỉa sử $(* *)$ đúng đến $k - 1$ , xét với $k$ :

$f (3 k + 1) = f (3 (k - 1) + 1 + 3) = 2 f (3 (k - 1) + 1) f (3) - f (3 (k - 2) + 1) = - f (3 (k - 2) + 1)$

Nếu $k \equiv 0, 3 (m o d 4) \Rightarrow k - 2 \equiv 2, 1 (m o d 4) \Rightarrow f (3 (k - 2) + 1) = - 1 \Rightarrow f (3 k + 1) = 1$

Nếu $k \equiv 1, 2 (m o d 4) \Rightarrow k - 2 \equiv 3, 0 (m o d 4) \Rightarrow f (3 (k - 2) + 1) = 1 \Rightarrow f (3 k + 1) = - 1$

Theo nguyên lí quy nạp thì $(* *)$ là đúng.

+) Tính $f (3 k + 2)$ .

Ta có $f (3 k + 2) = 2 f (3 k + 1) f (1) - f (3 k) = 2 f (3 k + 1) - f (3 k)$

Nếu $k \equiv 0 (m o d 4) \Rightarrow f (3 k + 1) = 1, f (3 k) = 1 \Rightarrow f (3 k + 2) = 1$

Nếu $k \equiv 1 (m o d 4) \Rightarrow f (3 k + 1) = - 1, f (3 k) = 0 \Rightarrow f (3 k + 2) = - 2$

Nếu $k \equiv 2 (m o d 4) \Rightarrow f (3 k + 1) = - 1, f (3 k) = - 1 \Rightarrow f (3 k + 2) = - 1$

Nếu $k \equiv 3 (m o d 4) \Rightarrow f (3 k + 1) = 1, f (3 k) = 0 \Rightarrow f (3 k + 2) = 2$

Do đó ta có $f (3 k + 2) = ⎩ ⎨ ⎧ 1, \forall k \equiv 0 (m o d 4) - 2, \forall k \equiv 1 (m o d 4) - 1, \forall k \equiv 2 (m o d 4) 2, \forall k \equiv 3 (m o d 4)$

Từ các kết quả trên ta tính được $f (1992) = 1, f (1995) = 0, f (1998) = - 1$

Functional Equation

Đề bài

Mô tả