Equation 1

( Hoàng Đức Hưng )
Giải phương trình:
$\frac{1}{\sqrt{1+x}}+\frac{1}{\sqrt{1+y}}-\sqrt{1-xy}=\frac{2}{\sqrt{1+\sqrt{xy}}}$
                                                          Lời giải
ĐK: $latex 0\leq xy\leq 1; x,y\geq -1$
Ta có: $\frac{1}{\sqrt{1+x}}+\frac{1}{\sqrt{1+y}}-\sqrt{1-xy}=\frac{2}{\sqrt{1+\sqrt{xy}}}$
$\iff \frac{1}{\sqrt{1+x}}+\frac{1}{\sqrt{1+y}}-\frac{2}{\sqrt{1+\sqrt{xy}}}=\sqrt{1-xy}$ (1)

Trước hết, ta phải chứng minh BĐT sau:
$\frac{1}{\sqrt{1+x}}+\frac{1}{\sqrt{1+y}}\le \frac{2}{\sqrt{1+\sqrt{xy}}}$ với ĐK trên.
Thật vậy, có BĐT $(a+b{)}^2\le 2(a^2+b^2)$
$\Rightarrow {\left(\frac{1}{\sqrt{1+x}}+\frac{1}{\sqrt{1+y}}\right)}^2\le 2\left(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}\right)$
Cần CM: \displaystyle{\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}\leq \frac{2}{1+\sqrt{xy}} với 0\leq xy\leq 1}
$\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}\le \frac{2}{1+\sqrt{xy}}$
$\iff \frac{\sqrt{xy}-x}{(1+x)(1+\sqrt{xy})}+\frac{\sqrt{xy}-y}{(1+y)(1+\sqrt{xy})}\le 0$
$\iff (\sqrt{x}-\sqrt{y})\left[\frac{\sqrt{y}}{(1+y)(1+\sqrt{xy})}-\frac{\sqrt{x}}{(1+x)(1+\sqrt{xy})}\right]$
$\iff (\sqrt{x}-\sqrt{y})\frac{\sqrt{y}(1+x)-\sqrt{x}(1+y)}{(1+x)(1+y)(1+\sqrt{xy})}$
$=-(\sqrt{x}-\sqrt{y}{)}^2.\frac{1-\sqrt{xy}}{(1+x)(1+y)(1+\sqrt{xy})}\le 0$ (luôn đúng theo ĐK)

Áp dụng BĐT trên, ta có:
$\Rightarrow V{T}_{(1)}\le 0$ mà $\Rightarrow V{T}_{(1)}\ge 0$ $\sqrt{1-xy}=0\iff xy=1$
Dấu bằng xảy ra $\iff x=y=\pm 1$

Vậy phương trình có nghiệm là $(x,y)=(\pm 1;\pm 1)$