Bất đẳng thức Đại học 9

Bài toán (Đề thi thử THPT Quốc gia 2016 lần 3 THPT Chuyên Thái Bình, Thái Bình)

Cho các số dương $x,y,z$ thoả $x+2y+3z=4$. Tìm giá trị lớn nhất :

$$P=x^2(5-6x)+4y^2(5-12y)+z^2(45-162z)$$

Lời giải :

Đặt $a=x,b=2y,c=3z$ thì $a+b+c=4$. Khi đó :

$$P=a^2(5-6a)+b^2(5-6b)+c^2(5-6c)=5a^2+5b^2+5c^2-6a^3-6b^3-6c^3$$

Bằng phương pháp tiếp tuyến, chỉ ra được :

$$5a^2-6a^3\le \frac{-56}{3}a+\frac{176}{9}$$

Suy ra :

$$P\le \frac{-56}{3}(a+b+c)+\frac{176}{3}=-16$$

$$MaxP=-16\iff x=\frac{4}{3},y=\frac{2}{3},z=\frac{4}{9}$$