Bất đẳng thức Đại học 8

Bài toán (Đề thi thử THPT Quốc gia 2016 THPT Đắk Mil, Đắk Nông)

 Cho $a,b,c$ dương thoả $ab+bc+ca=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất :

$P$$=\sqrt{\frac{a}{16(b+c)(a^2+bc)}}+\sqrt{\frac{a}{16(b+c)(a^2+bc)}}+\frac{a^2+1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{c}{ab}\right)$

Lời giải :

Theo AM-GM :

$\sqrt{\frac{a}{(b+c)(a^2+bc)}}$$=\frac{a}{\sqrt{(ab+ac)(a^2+bc)}}$$\ge \frac{a}{\frac{1}{2}(ab+ac+a^2+bc)}$$=\frac{2a}{(a+b)(a+c)}$

Tương tự :

$$\sqrt{\frac{b}{(a+c)(b^2+ac)}}\ge \frac{2b}{(b+c)(b+a)}$$

Suy ra :

$4P$$\ge \frac{2a}{(a+b)(a+c)}+\frac{2b}{(b+c)(b+a)}+\frac{(a^2+1)(b+c)}{ab}$$=\frac{2a(b+c)+2b(c+a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}+\frac{(a^2+ab+bc+ca)(b+c)}{ab}$

$=\frac{2(1+ab)}{(a+b)(b+c)(c+a)}+\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{ab}$$\ge 2\sqrt{\frac{2(1+ab)}{ab}}$$=2\sqrt{\frac{4(1+ab)}{2ab}}$$\ge 2\sqrt{\frac{4(ab+1)}{1+ab}}$$=4$

(Chú ý rằng $ab\le ab+bc+ca=1$)

Từ đó ta có

$$MinP=1\iff a=b=1,c=0$$