BĐTĐH6 : Cho các số thực $x,y,z$ không âm thoả mãn $0<(x+y)^2+(y+z)^2+(z+x)^2\leq 2$. Tìm giá trị lớn nhất của : \[P=4^x+4^y+4^z+\ln(x^4+y^4+z^4)-\dfrac{3}{4}(x+y+z)^4\] Gợi ý : Với một dự đoán dấu bằng xảy ra tại hai biến bằng $0$, một biến bằng $1$. Ta sẽ tìm cách đánh giá $P$ về hàm theo biến $x+y+z$. Với $(x,y,z)=(1,0,0)$ thì $x^4+y^4+z^4=1$ nên $\ln(x^4+y^4+z^4)=0$. Ta sẽ chọn các số $a,b$ sao cho : $4^x\leq ax+b,\;\forall 0\leq x\leq 1$. Vì dấu bằng xảy ra ở hai điểm $x=0$ và $x=1$ nên ta có hệ $\left\{\begin{matrix} 4=a+b\\ 1=b \end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=3,b=1$. Lời giải : Từ giả thiết ta suy ra : \[x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx\leq 1\] Từ đây suy ra $x,y,z\in \left [ 0,1 \right ]$. Kéo theo : \[x^4+y^4+z^4\leq x^2+y^2+z^2\leq x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx=1\] Do đó $\ln(x^4+y^4+z^4)\leq 0$. Tiếp theo ta sẽ chứng minh $4^x\leq 3x+1,\;\forall x\in \left [ 0,1 \right ]$. Điều này có thể dễ dàng thực hiện bằng khảo sát hàm số. Suy ra rằng : \[P\leq 3(x+y+z)+3-\dfrac{3}{4}(x+y+z)^4=3+3t-\dfrac{3}{4}t^4\;\;(t=x+y+z)\] Ta có : \[x+y+z\leq \sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}\leq \sqrt{6}\] Bằng cách khảo sát hàm số $f(t)=3+3t-\dfrac{3}{4}t^4,t\in \left [ 0,\sqrt{6} \right ]$, ta chỉ ra được $Max f(t)=\dfrac{21}{4}$, dấu bằng đạt được khi $t=1$. Từ đó có giá trị lớn nhất của $P$ là $\dfrac{21}{4}$, đạt được khi chẳng hạn $(x,y,z)=(0,0,1)$.

Bất đẳng thức Đại Học 6

BĐTĐH6 : Cho các số thực $x, y, z$ không âm thoả mãn $0 < (x + y)^{2} + (y + z)^{2} + (z + x)^{2} \leq 2$ . Tìm giá trị lớn nhất của :

$P = 4^{x} + 4^{y} + 4^{z} + ln (x^{4} + y^{4} + z^{4}) - \frac{3}{4} (x + y + z)^{4}$

Gợi ý :

Với một dự đoán dấu bằng xảy ra tại hai biến bằng $0$ , một biến bằng $1$ . Ta sẽ tìm cách đánh giá $P$ về hàm theo biến $x + y + z$ .

Với $(x, y, z) = (1, 0, 0)$ thì $x^{4} + y^{4} + z^{4} = 1$ nên $ln (x^{4} + y^{4} + z^{4}) = 0$ .

Ta sẽ chọn các số $a, b$ sao cho : $4^{x} \leq a x + b, \forall0 \leq x \leq 1$ . Vì dấu bằng xảy ra ở hai điểm $x = 0$ và $x = 1$ nên ta có hệ ${4 = a + b 1 = b \Leftrightarrow a = 3, b = 1$ .

Lời giải :

Từ giả thiết ta suy ra :

$x^{2} + y^{2} + z^{2} + x y + y z + z x \leq 1$

Từ đây suy ra $x, y, z \in [0, 1]$ . Kéo theo :

$x^{4} + y^{4} + z^{4} \leq x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq x^{2} + y^{2} + z^{2} + x y + y z + z x = 1$

Do đó $ln (x^{4} + y^{4} + z^{4}) \leq 0$ .

Tiếp theo ta sẽ chứng minh $4^{x} \leq 3 x + 1, \forall x \in [0, 1]$ . Điều này có thể dễ dàng thực hiện bằng khảo sát hàm số.

Suy ra rằng :

$P \leq 3 (x + y + z) + 3 - \frac{3}{4} (x + y + z)^{4} = 3 + 3 t - \frac{3}{4} t^{4} (t = x + y + z)$

Ta có :

$x + y + z \leq 3 (x^{2} + y^{2} + z^{2}) \leq 6$

Bằng cách khảo sát hàm số $f (t) = 3 + 3 t - \frac{3}{4} t^{4}, t \in [0, 6]$ , ta chỉ ra được $M a x f (t) = \frac{21}{4}$ , dấu bằng đạt được khi $t = 1$ .

Từ đó có giá trị lớn nhất của $P$ là $\frac{21}{4}$ , đạt được khi chẳng hạn $(x, y, z) = (0, 0, 1)$ .

Bất đẳng thức Đại Học 6

Đề bài

Mô tả