Bất đẳng thức Đại học 14

Bài toán : Cho $x,y>0$ thoả mãn $x^2+y^2=xy+1$. Tìm giá trị lớn nhất :

$$P=\frac{x^3}{y^3+1}+\frac{y^3}{x^3+1}+\frac{24\sqrt{xy}}{x+y+2}$$

Lời giải :

Gỉa thiết đã cho tương đương :

$$x^3+y^3=x+y$$

Ta có :

$\frac{x^3}{y^3+1}+\frac{y^3}{x^3+1}$$=\frac{x^3+y^3+1}{x^3+1}+\frac{x^3+y^3+1}{y^3+1}-2$$=\left(x^3+y^3+1\right)\left(\frac{1}{x^3+1}+\frac{1}{y^3+1}\right)-2$$=\left(x^3+y^3+1\right).\frac{x^3+y^3+2}{(x^3+1)(y^3+1)}-2$

Ta cũng chứng minh được :

$$(1+x^3)(1+y^3)\ge \frac{(x+y{)}^3}{2}$$

Thế nên :

$\frac{x^3}{y^3+1}+\frac{y^3}{x^3+1}$$\le \frac{2(x^3+y^3+1)(x^3+y^3+2)}{(x+y{)}^3}-2$$=\frac{2(x+y+1)(x+y+2)}{(x+y{)}^3}-2$

Và :

$$\frac{24\sqrt{xy}}{x+y+2}\le \frac{12(x+y)}{x+y+2}$$

Vậy nếu ta đặt $x+y=t$ thì :

$$P\le \frac{2(t+1)(t+2)}{t^3}+\frac{12t}{t+2}-2=f(t)$$

Ta dễ chứng minh được $t\in \left(0,2\right]$. Khảo sát hàm số $f(t)$ trên $\left(0,2\right]$. Ta được :

$$MaxP=7\iff t=2\iff x=y=1$$