Bất đẳng thức Đại học 13

Bài toán (Thi thử THPT Quốc gia 2016 THPT Chuyên Lương Văn Tuỵ, Ninh Bình)

Cho $a,b,c\in \left[1,+\infty \right)$ thoả $3(a+b+c)=a^2+b^2+c^2+2ab$. Tìm GTNN :

$$P=\frac{a^2}{(a+b{)}^2+a}+\frac{a}{a+c^2}$$

Lời giải :

Gỉa thiết đã cho có thể viết dưới dạng :

$$3(a+b+c)=(a+b{)}^2+c^2$$

Áp dụng BĐT AM-GM :

$3(a+b+c)$$=(a+b{)}^2+c^2$$\le \frac{1}{2}(a+b+c{)}^2$$\iff a+b+c$$\le 6$$\iff b+c$$\le 6-a$

Theo BĐT Cauchy-Schwarz :

$P$$\ge \frac{{\left(a+\sqrt{a}\right)}^2}{a^2+(b+c{)}^2+2a}$$=\frac{{\left(a+\sqrt{a}\right)}^2}{5a+3(b+c)}$$\ge \frac{{\left(a+\sqrt{a}\right)}^2}{5a+3(6-a)}$$=\frac{{\left(a+\sqrt{a}\right)}^2}{2a+18}$$=f(a)$

Dễ dàng thấy $f(a)$ đồng biến trên $\left[1,\infty \right)$ nên $P\ge f(a)\ge f(1)=\frac{1}{5}$

Kết luận :

Gía trị nhỏ nhất của $P$ là $\frac{1}{5}$, đạt được khi $a=1,b=2,c=3$.