Bất đẳng thức Đại học 12

Bài toán (Thi thử THPT Quốc gia 2016 THPT Chuyên Lê Quý Đôn, TP Đà Nẵng)

Cho các số dương $a,b,c$ thoả mãn $a+b+c=9$. Tìm giá trị nhỏ nhất :

$P$$=\frac{\sqrt{(a^2+b^2)(a^4+b^4)}}{\sqrt[6]{a^4{b}^{4}c}}+\frac{\sqrt{(b^2+c^2)(b^4+c^4)}}{\sqrt[6]{b^4{c}^{4}a}}+\frac{\sqrt{(c^2+a^2)(c^4+a^4)}}{\sqrt[6]{c^4{a}^{4}b}}$

Lời giải :

Ta có :

$\sqrt{c(a^4+b^4)(a^2+b^2)}$$\ge \sqrt{2abc(a^4+b^4)}$$\ge \sqrt{2abc}.\frac{(a+b{)}^2}{\sqrt{8}}$$=\frac{\sqrt{abc}}{2}.(a+b{)}^2$

Lại có :

$$(a+b{)}^2+36\ge 12(a+b)\Rightarrow (a+b{)}^2\ge 12(a+b)-36$$

Từ đó có :

$$\sqrt{c(a^2+b^2)(a^4+b^4)}\ge \frac{\sqrt{abc}}{2}\left[12(a+b)-36\right]$$

và suy ra :

$\frac{\sqrt{(a^2+b^2)(a^4+b^4)}}{\sqrt[6]{a^4{b}^{4}c}}$$=\frac{\sqrt{c(a^2+b^2)(a^4+b^4)}}{\sqrt[6]{a^4{b}^4{c}^4}}$$\ge \frac{\sqrt{abc}}{2\sqrt[6]{a^4{b}^4{c}^4}}\left[12(a+b)-36\right]$$=\frac{1}{2\sqrt[6]{abc}}\left[12(a+b)-36\right]$

Thiết lập các kết quả tương tự rồi cộng lại vế theo vế :

$P$$\ge \frac{1}{2\sqrt[6]{abc}}\left[24(a+b+c)-3.36\right]$$\ge \frac{1}{2.\sqrt[6]{{\left(\frac{a+b+c}{3}\right)}^3}}\left[24(a+b+c)-3.36\right]$$=18\sqrt{3}$

Kết luận :

$$P_{min}=18\sqrt{3}\iff a=b=c=3$$