Bất đẳng thức Đại học 11

Bài toán (Thi thử THPT Quốc gia Sở GD&ĐT Hà Tĩnh) 

Cho $x,y,z>0$ thoả $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{16}{x+y+z}$. Tìm giá trị lớn nhất :

$$P=\frac{(x-y)(y-z)(z-x)}{xyz}$$

Lời giải :

Gỉa thiết đã cho có thể viết được dưới dạng :

$$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{z}{x}+\frac{x}{z}=13$$

Và :

$$P=\left(1-\frac{y}{x}\right)\left(1-\frac{z}{y}\right)\left(1-\frac{x}{z}\right)$$

Đặt $$a=\frac{y}{x},b=\frac{z}{y},c=\frac{x}{z}$$ thì $$abc=1$$. Gỉa thiết đã cho trở thành $$a+b+c+ab+bc+ca=13$$.

Và biểu thức trở thành :

$$P=(1-a)(1-b)(1-c)=(1-abc)+(ab+bc+ca-a-b-c)=13-2(a+b+c)$$

Sử dụng hai giả thiết :

$(a+b)+c(a+b)+\frac{1}{c}+c$$=13$$\iff (a+b)(c+1)$$=13-\frac{1}{c}-c$$\iff a+b$$=\frac{13c-c^2-1}{c(c+1)}$

Thay vào $P$ :

$$P=13-2\left(\frac{13c-c^2-1}{c(c+1)}+c\right)=\frac{-2c^3+13c^2-13c+2}{c(c+1)}=f(c),c>0$$

$$f^{\prime }(c)=\frac{-2(c^2-3c+1)(c^2+5c+1)}{c^2(c+1{)}^2}$$

Từ đó dễ dàng thấy :

$$f_{max}=\sqrt{5}\iff c=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$$

Từ đó :

Gía trị lớn nhất của $P$ là $\sqrt{5}$, đạt được khi chẳng hạn $a=c=\frac{3+\sqrt{5}}{2},b=\frac{1}{2}\left(7-3\sqrt{5}\right)$ tức $y=\frac{3+\sqrt{5}}{2}.x=\frac{7+3\sqrt{5}}{2}.z$