Bất đẳng thức Đại học 10

Bài toán : (Đề thi thử THPT Quốc gia lần 2 2016 THPT Đoàn Thượng, Hải Dương)

Cho $a,b,c>0$ thoả $a^2+b^2+c^2=3$. Tìm giá trị lớn nhất :

$$P=\frac{ab}{3+c^2}+\frac{bc}{3+a^2}-\frac{b^3{a}^3+b^3{c}^3}{24a^3{c}^3}$$

Lời giải :

Ta có :

$\frac{ab}{3+c^2}$$=\frac{ab}{(c^2+a^2)+(c^2+b^2)}$$\le \frac{1}{4}.\frac{(a+b{)}^2}{(c^2+a^2)+(c^2+b^2)}$$\le \frac{1}{4}\left(\frac{a^2}{c^2+a^2}+\frac{b^2}{c^2+b^2}\right)$$\le \frac{1}{4}\left(\frac{a^2}{c^2+a^2}+\frac{b}{2c}\right)$

Hoàn toàn tương tự :

$$\frac{bc}{3+a^2}\le \frac{1}{4}\left(\frac{c^2}{c^2+a^2}+\frac{b}{2a}\right)$$

Suy ra :

$\frac{ab}{3+c^2}+\frac{bc}{3+a^2}$$\le \frac{1}{4}\left(1+\frac{1}{2}\left(\frac{b}{a}+\frac{b}{c}\right)\right)$$=\frac{1}{4}+\frac{1}{8}\left(\frac{b}{a}+\frac{b}{c}\right)$

Và :

$24A$$\le 6+3\left(\frac{b}{a}+\frac{b}{c}\right)-\left(\frac{b^3}{a^3}+\frac{c^3}{a^3}\right)$

Dễ dàng chứng minh được :

$$3x-x^3\le 2(x>0)$$

Suy ra :

$24A$$\le 6+\left(\frac{3b}{a}-\frac{b^3}{a^3}\right)+\left(\frac{3b}{c}-\frac{b^3}{c^3}\right)$$\le 6+2+2$$=10$$\iff A$$\le \frac{5}{12}$

Kết luận :

$$A_{max}=\frac{5}{12}\iff a=b=c=1$$